В трапеции АBCD с основаниями AD и ВС диагонали пересекаются в точке О, ВO : OD = 2: 3, АС = 25 см. Найдите отрезки АО и ОС.

Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и BC, диагонали которой пересекаются в точке O. Так как BC || AD, то треугольники BOC и AOD подобны (по двум углам).

Из условия BO : OD = 2 : 3 следует, что:

$$\frac{BO}{OD} = \frac{2}{3}$$

Значит, коэффициент подобия k = 2/3.

Также известно, что AC = 25 см. Обозначим AO = x, тогда OC = AC - AO = 25 - x.

Так как треугольники BOC и AOD подобны, то:

$$\frac{OC}{AO} = \frac{BO}{OD}$$

Подставим известные значения:

$$\frac{25-x}{x} = \frac{2}{3}$$

Решим уравнение:

$$3(25-x) = 2x$$ $$75 - 3x = 2x$$ $$75 = 5x$$ $$x = 15$$

Значит, AO = 15 см, тогда OC = 25 - 15 = 10 см.

Ответ: AO = 15 см, OC = 10 см