25. В трапеции АВСD основания AD и ВС равны соответственно 18 и 6, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки А и В и касающейся прямой CD, если АВ = 10.

Пусть дана трапеция ABCD, где AD = 18, BC = 6, AB = 10, $$\angle A + \angle D = 90^\circ$$. Окружность проходит через точки A и B и касается прямой CD. 1. Проведем высоту BH к основанию AD. Тогда в прямоугольном треугольнике ABH имеем AB = 10. 2. $$\angle A + \angle D = 90^\circ$$, следовательно, $$\angle B + \angle C = 360^\circ - 90^\circ = 270^\circ$$. 3. Проведем CK к основанию AD. Тогда AH + KD = AD - HK = AD - BC = 18 - 6 = 12. 4. В трапеции AB + CD = AD + BC (свойство описанной трапеции, но нам это не дано явно, и нужно доказать, что можно вписать окружность). Но это свойство нам не требуется для решения. 5. Пусть окружность касается прямой CD в точке E. Тогда центр окружности лежит на перпендикуляре к CD, проходящем через точку E. 6. Так как окружность проходит через точки A и B, центр окружности лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB. 7. Пусть O - центр окружности, R - радиус окружности. Тогда OA = OB = R. 8. Задача не имеет однозначного решения без дополнительных построений и предположений. Для нахождения радиуса необходимо более четкое условие касания окружности и прямой CD и связь с суммой углов A и D. Без дополнительной информации о расположении точек касания или дополнительных соотношениях между углами трапеции, точное решение для радиуса окружности невозможно. Предположим, что трапеция прямоугольная, то есть $$\angle A = 90^\circ$$. Тогда $$\angle D = 0^\circ$$, что невозможно. Задача, вероятно, содержит недостающие данные или опечатку. Предположим, что AB перпендикулярна AD. Тогда трапеция прямоугольная. Но это не сказано в условии, поэтому без дополнительных построений задача не решается. Ответ: Недостаточно данных для однозначного решения.