5. В трапеции CD с основаниями AD и ВС диагонали пересекаются в точке О, BC : AD = 3 : 5, BD = 24 см. Найдите отрезки BO и OD.

В трапеции ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O, BC : AD = 3 : 5, BD = 24 см. Требуется найти отрезки BO и OD.

Рассмотрим трапецию ABCD. Поскольку BC и AD - основания трапеции, то BC || AD.

Треугольники BOC и AOD подобны по двум углам (углы BOC и AOD равны как вертикальные, углы CBO и ADO равны как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей BD).

В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны, следовательно:

$$\frac{BO}{OD} = \frac{BC}{AD}$$

Пусть BO = 3x, OD = 5x, тогда BD = BO + OD = 3x + 5x = 8x.

Известно, что BD = 24 см, следовательно:

$$8x = 24$$

$$x = \frac{24}{8} = 3$$ см.

Тогда:

$$BO = 3x = 3 \cdot 3 = 9$$ см.

$$OD = 5x = 5 \cdot 3 = 15$$ см.

Ответ: BO = 9 см, OD = 15 см