24 В трапеции KMND с основаниями KD и MN диагонали пересекаются в точке Р. Докажите, что площади треугольников КРМ и NPD равны.

Доказательство:

Рассмотрим трапецию KMND с основаниями KD и MN, диагонали которой пересекаются в точке P.

Площадь треугольника KMD равна площади треугольника KND, так как у них общее основание KD и равные высоты (расстояние между основаниями трапеции).

$$S_{\triangle KMD} = S_{\triangle KND}$$.

Треугольники KMD и KND состоят из треугольников KPD и KMP и треугольников KPD и NPD соответственно.

$$S_{\triangle KMD} = S_{\triangle KPD} + S_{\triangle KMP}$$

$$S_{\triangle KND} = S_{\triangle KPD} + S_{\triangle NPD}$$

Следовательно,

$$S_{\triangle KPD} + S_{\triangle KMP} = S_{\triangle KPD} + S_{\triangle NPD}$$

Вычитая из обеих частей равенства $$S_{\triangle KPD}$$, получим:

$$S_{\triangle KMP} = S_{\triangle NPD}$$

Что и требовалось доказать.