В треугольник, углы которого относятся как 1:3:5, вписана окружность. Найдите углы между радиусами, проведенными в точки касания.

Для решения этой задачи, сначала найдем углы треугольника. Пусть углы треугольника будут $$x$$, $$3x$$ и $$5x$$. Сумма углов треугольника равна 180 градусам, поэтому $$x + 3x + 5x = 180$$ $$9x = 180$$ $$x = 20$$ Таким образом, углы треугольника равны 20°, 60° и 100°. Теперь рассмотрим окружность, вписанную в треугольник. Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны сторонам треугольника. Углы между радиусами и сторонами треугольника равны 90°. Рассмотрим четырехугольник, образованный двумя радиусами и двумя сторонами треугольника. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Пусть углы между радиусами будут $$\alpha$$, $$\beta$$ и $$\gamma$$. Тогда: Для угла 20°: $$90 + 90 + 20 + \alpha = 360$$ $$alpha = 360 - 200 = 160$$ Для угла 60°: $$90 + 90 + 60 + \beta = 360$$ $$\beta = 360 - 240 = 120$$ Для угла 100°: $$90 + 90 + 100 + \gamma = 360$$ $$\gamma = 360 - 280 = 80$$ Ответ: Углы между радиусами равны 160°, 120° и 80°.