267 В треугольниках АВС и А1В1С1 углы А и А₁ — прямые, BD и В₁D₁ - биссектрисы. Докажите, что ДАВС = ДА,В,С1, если ∠B = ∠B₁ и BD = B₁D1.

Рассмотрим треугольники ABD и A₁B₁D₁.

В них BD = B₁D₁ (по условию), ∠ABD = ∠A₁B₁D₁ (т.к. BD и B₁D₁ - биссектрисы, и ∠B = ∠B₁).

Следовательно, треугольники ABD и A₁B₁D₁ равны по катету и прилежащему острому углу. Тогда AB = A₁B₁.

Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁.

В них ∠A = ∠A₁ = 90°, AB = A₁B₁ (доказано выше), ∠B = ∠B₁ (по условию).

Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по катету и прилежащему острому углу.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано