Решение задачи 8:

Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle A = 56^{\circ}\), \(BD\) и \(CE\) - высоты, пересекающиеся в точке \(O\). Найти \(\angle DOE\).

1. Рассмотрим четырёхугольник \(A E O D\). Сумма углов в четырёхугольнике равна \(360^{\circ}\).

2. Так как \(BD\) и \(CE\) - высоты, то \(\angle A E O = 90^{\circ}\) и \(\angle A D O = 90^{\circ}\).

3. Тогда \(\angle D O E = 360^{\circ} - \angle A E O - \angle A D O - \angle E A D = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 56^{\circ} = 124^{\circ}\).

4. Углы \(\angle DOE\) и \(\angle BOC\) - вертикальные, следовательно, \(\angle D O E = \angle BOC \).

Ответ: 124