В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен 90°, \(AB = 25\), \(\sin A = \frac{4}{5}\). Найдите длину стороны \(AC\).

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с прямым углом \(C\) дано: \(AB = 25\) (гипотенуза) \(\sin A = \frac{4}{5}\) Нужно найти длину стороны \(AC\) (прилежащий катет к углу \(A\)). Синус угла \(A\) определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе: \[\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{5}\] Косинус угла \(A\) можно найти, используя основное тригонометрическое тождество: \[\sin^2 A + \cos^2 A = 1\] Подставим известное значение синуса: \[\left(\frac{4}{5}\right)^2 + \cos^2 A = 1\] \[\frac{16}{25} + \cos^2 A = 1\] \[\cos^2 A = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25 - 16}{25} = \frac{9}{25}\] \[\cos A = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}\] Теперь, когда известен косинус угла \(A\), можно найти сторону \(AC\): \[\cos A = \frac{AC}{AB}\] \[AC = AB \cdot \cos A\] \[AC = 25 \cdot \frac{3}{5} = \frac{25 \cdot 3}{5} = 5 \cdot 3 = 15\]

Ответ: 15

Проверка за 10 секунд: Если \(AB = 25\) и \(\sin A = \frac{4}{5}\), то \(AC = 15\).

Доп. профит: Использование основного тригонометрического тождества позволяет найти косинус угла, зная синус, и наоборот.