4. В треугольнике ABC ∠A=90°, ∠B=45°. Докажите, что треугольник АВС - равнобедренный, укажите его боковые стороны и основание. Отрезок ВО – высота данного треугольника. Найдите углы, на которые она делит угол АВС.

Сумма углов треугольника равна 180°. В треугольнике ABC ∠A=90°, ∠B=45°, следовательно, ∠C = 180° - 90° - 45° = 45°.

Так как ∠B = ∠C = 45°, то треугольник ABC равнобедренный, его боковые стороны AB и AC равны, а основание BC.

Отрезок BO – высота, значит, ∠BOA = 90°. Рассмотрим треугольник ABO. В нем ∠BAO = 90°, ∠ABO = 45°. Так как BO - высота, проведенная к гипотенузе, то она также является и медианой, и биссектрисой угла B.

Следовательно, ∠ABO = ∠CBO = ∠B / 2 = 45° / 2 = 22.5°.