В треугольнике ABC $$AA_1$$ — медиана, M — середина на $$AA_1$$. Выразите вектор $$\overrightarrow{BM}$$ через векторы $$overrightarrow{a} = \overrightarrow{BA}$$ и $$overrightarrow{b} = \overrightarrow{BC}$$.

Чтобы выразить вектор $$\overrightarrow{BM}$$ через векторы $$\overrightarrow{a}$$ и $$\overrightarrow{b}$$, воспользуемся свойствами медианы и середины отрезка.

1. $$\overrightarrow{BA_1} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{b}$$.
2. $$\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{BA_1} - \overrightarrow{BA} = \frac{1}{2}\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}$$.
3. $$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AA_1} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) = \frac{1}{4}\overrightarrow{b} - \frac{1}{2}\overrightarrow{a}$$.
4. $$\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{a} + \frac{1}{4}\overrightarrow{b} - \frac{1}{2}\overrightarrow{a} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{1}{4}\overrightarrow{b}$$.

Ответ: $$\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{1}{4}\overrightarrow{b}$$.