12. В треугольнике ABC AB = AC, AC = 6, tg A = \frac{4\sqrt{7}}{3} (см. рис. 102). Найдите АВ.

В треугольнике ABC AB = AC, следовательно, треугольник ABC равнобедренный с основанием BC.

Проведем высоту AH к основанию BC. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой и биссектрисой.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нем угол BAH равен \(\frac{A}{2}\). Тогда

$$tg A = \frac{4\sqrt{7}}{3}$$, значит, $$tg \frac{A}{2} = \frac{\sqrt{1 + tg^2A} - 1}{tg A} = \frac{\sqrt{1 + (\frac{4\sqrt{7}}{3})^2} - 1}{\frac{4\sqrt{7}}{3}} = \frac{\sqrt{1 + \frac{16 \cdot 7}{9}} - 1}{\frac{4\sqrt{7}}{3}} = \frac{\sqrt{\frac{9 + 112}{9}} - 1}{\frac{4\sqrt{7}}{3}} = \frac{\frac{\sqrt{121}}{3} - 1}{\frac{4\sqrt{7}}{3}} = \frac{\frac{11}{3} - 1}{\frac{4\sqrt{7}}{3}} = \frac{\frac{8}{3}}{\frac{4\sqrt{7}}{3}} = \frac{8}{4\sqrt{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}}$$.

$$tg \frac{A}{2} = \frac{BH}{AH}$$, $$tg \frac{A}{2} = \frac{2}{\sqrt{7}}$$.

Пусть $$BH = 2x$$, $$AH = x\sqrt{7}$$.

$$AB^2 = BH^2 + AH^2$$

$$6^2 = (2x)^2 + (x\sqrt{7})^2$$

$$36 = 4x^2 + 7x^2$$

$$36 = 11x^2$$

$$x^2 = \frac{36}{11}$$

$$x = \frac{6}{\sqrt{11}}$$.

$$BH = 2x = \frac{12}{\sqrt{11}}$$.

$$AH = x\sqrt{7} = \frac{6\sqrt{7}}{\sqrt{11}}$$.

$$AB = 6 \text{ (по условию)}$$

Ответ: 6