В треугольнике ABC AC = BC, AB = 18, tg A = \frac{\sqrt{7}}{3}. Найдите длину стороны AC.

Ответ: 9

В треугольнике \(ABC\) \(AC = BC\), значит, он равнобедренный. Пусть \(H\) — основание высоты, опущенной из вершины \(C\) на сторону \(AB\). Тогда \(AH = \frac{AB}{2} = \frac{18}{2} = 9\). Обозначим высоту \(CH = h\).

Тангенс угла \(A\) равен отношению \(\frac{CH}{AH}\), то есть \(\tg A = \frac{h}{9}\). По условию \(\tg A = \frac{\sqrt{7}}{3}\), значит:

\[\frac{h}{9} = \frac{\sqrt{7}}{3}\]

Решим уравнение относительно \(h\):

\[h = 9 \cdot \frac{\sqrt{7}}{3} = 3\sqrt{7}\]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \(ACH\). По теореме Пифагора:

\[AC^2 = AH^2 + CH^2\] \[AC^2 = 9^2 + (3\sqrt{7})^2\] \[AC^2 = 81 + 9 \cdot 7 = 81 + 63 = 144\]

Извлечем квадратный корень, чтобы найти \(AC\):

\[AC = \sqrt{144} = 12\]

Ответ: 12