3. В треугольнике ABC \(\angle C = 60°\). На стороне AC отмечена точка D так, что \(\angle BDC = 60°\), \(\angle ABD = 30°\). а) Докажите, что AD = BC. б) Докажите, что периметр треугольника ABC меньше пяти длин отрезка BC.

a) Доказательство, что AD = BC. 1. Рассмотрим треугольник BDC. У него \(\angle BDC = 60°\) и \(\angle C = 60°\). Следовательно, \(\angle DBC = 180° - 60° - 60° = 60°\). Таким образом, треугольник BDC равносторонний, и BC = BD = DC. 2. Рассмотрим треугольник ABD. У него \(\angle ABD = 30°\). Найдем \(\angle ADB\). Так как \(\angle BDC = 60°\), то \(\angle ADB = 180° - 60° = 120°\). Следовательно, \(\angle BAD = 180° - 120° - 30° = 30°\). Таким образом, треугольник ABD равнобедренный, и AD = BD. 3. Так как AD = BD и BC = BD, то AD = BC. б) Доказательство, что периметр треугольника ABC меньше пяти длин отрезка BC. 1. Периметр треугольника ABC равен P = AB + BC + AC. 2. AC = AD + DC. Так как AD = BC и DC = BC, то AC = BC + BC = 2BC. 3. Рассмотрим треугольник ABD. По неравенству треугольника, AB < AD + BD. Так как AD = BC и BD = BC, то AB < BC + BC = 2BC. 4. Следовательно, P = AB + BC + AC < 2BC + BC + 2BC = 5BC. Таким образом, периметр треугольника ABC меньше пяти длин отрезка BC.