В треугольнике ABC BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC = 64 и BC=BM. Найдите AH.

Дано: треугольник ABC, BM – медиана, BH – высота, AC = 64, BC = BM.

Найти: AH.

Решение:

1. Так как BM - медиана, то AM = MC = AC/2 = 64/2 = 32.

2. Пусть угол MCB = α. Тогда угол MBC = α, так как треугольник BMC равнобедренный (BM = BC).

3. Угол BMA является внешним углом треугольника BMC, следовательно, угол BMA = угол MCB + угол MBC = α + α = 2α.

4. Рассмотрим треугольник BHA. Угол BHA = 90°, так как BH - высота. Пусть угол BAH = β. Тогда угол ABH = 90° - β.

5. Рассмотрим треугольник ABC. Угол ACB = α, угол ABC = угол ABM + угол MBC. Значит, угол ABC = (90° - β) + α.

6. Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°. Следовательно, угол BAC + угол ABC + угол ACB = 180°. Тогда β + (90° - β + α) + α = 180°. Отсюда получаем 90° + 2α = 180°, значит 2α = 90°, и α = 45°.

7. Таким образом, угол MCB = 45°, а угол BMA = 2 * 45° = 90°. Это означает, что BM является не только медианой, но и высотой в треугольнике ABM.

8. Следовательно, треугольник ABM - прямоугольный и равнобедренный (AM = BM). Так как BM = BC, то BC = AM = 32.

9. Теперь рассмотрим треугольник BHC, в котором угол BHC = 90°, а угол BCH = 45°. Следовательно, треугольник BHC - прямоугольный и равнобедренный, значит, BH = HC = 32.

10. AH = AC - HC = 64 - 32 = 32.

Ответ: 32