В треугольнике ABC известно, что AB = BC, AC = 8, tg ∠BAC = \(\frac{\sqrt{5}}{2}\). Найдите длину стороны AB.

В треугольнике ABC известно, что AB = BC, значит, треугольник равнобедренный. Пусть AB = BC = x.

Проведём высоту BH к основанию AC. Так как треугольник равнобедренный, высота BH является также медианой, то есть AH = HC = AC / 2 = 8 / 2 = 4.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. tg ∠BAC = BH / AH

$$\frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{BH}{4}$$ $$BH = 4 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = 2\sqrt{5}$$

По теореме Пифагора для треугольника ABH:

$$AB^2 = AH^2 + BH^2$$ $$x^2 = 4^2 + (2\sqrt{5})^2 = 16 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36$$ $$x = \sqrt{36} = 6$$

Ответ: 6