2. В треугольнике ABC известно, что AC = 10√2 см, ∠B = 45°, ∠C = 30°. Найдите сторону AB треугольника и радиус описанной около него окружности.

Для решения этой задачи можно воспользоваться теоремой синусов. Теорема синусов утверждает, что отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего угла является постоянным для всех сторон и углов треугольника, и равно 2R, где R - радиус описанной окружности.

Сначала найдем угол A:

∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 45° - 30° = 105°

Теперь используем теорему синусов для нахождения стороны AB:

$$\frac{AB}{\sin(C)} = \frac{AC}{\sin(B)}$$ $$AB = AC \cdot \frac{\sin(C)}{\sin(B)}$$ $$AB = 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sin(30°)}{\sin(45°)}$$ $$AB = 10\sqrt{2} \cdot \frac{0.5}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$ $$AB = 10\sqrt{2} \cdot \frac{0.5 \cdot 2}{\sqrt{2}}$$ $$AB = 10 \text{ см}$$

Теперь найдем радиус описанной окружности (R), используя ту же теорему синусов:

$$\frac{AC}{\sin(B)} = 2R$$ $$R = \frac{AC}{2\sin(B)}$$ $$R = \frac{10\sqrt{2}}{2 \sin(45°)}$$ $$R = \frac{10\sqrt{2}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}$$ $$R = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$$ $$R = 10 \text{ см}$$

Ответ: AB = 10 см, R = 10 см