9. В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AB = 18, $$tg A = \frac{2\sqrt{22}}{9}$$. Найдите длину стороны AC.

Поскольку AC = BC, треугольник ABC – равнобедренный. Пусть AH – высота, опущенная из вершины A на сторону BC. Тогда AH также является медианой, и BH = HC. Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. Известно, что AB = 18, значит AH высота в равнобедренном треугольнике является и медианой, то есть $$BH = \frac{1}{2}AB = \frac{18}{2} = 9$$. Дано, что $$tg A = \frac{2\sqrt{22}}{9}$$. Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны, то есть $$tg A = tg C = \frac{AH}{HC}$$, где AH - высота, проведенная к основанию BC. $$AH = HC * tg C$$. Но $$HC=9$$, тогда $$AH = 9 * \frac{2\sqrt{22}}{9} = 2\sqrt{22}$$. Теперь найдем AC, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника AHC: $$AC^2 = AH^2 + HC^2$$. Следовательно, $$AC^2 = (2\sqrt{22})^2 + 9^2 = 4 * 22 + 81 = 88 + 81 = 169$$. $$AC = \sqrt{169} = 13$$ Ответ: 13