5. В треугольнике ABC известно, что \(\angle B = 90°\), \(\angle ACB = 60°\), отрезок CD - биссектриса треугольника. Найдите катет AB, если BD = 5 см.

В прямоугольном треугольнике ABC, \(\angle B = 90°\) и \(\angle ACB = 60°\). Следовательно, \(\angle BAC = 180° - (90° + 60°) = 30°\). CD - биссектриса угла \(\angle ACB\), значит, \(\angle ACD = \angle DCB = \frac{60°}{2} = 30°\). Рассмотрим треугольник BCD. В этом треугольнике \(\angle DCB = 30°\) и \(\angle DBC = 90°\), следовательно, \(\angle CDB = 180° - (90° + 30°) = 60°\). Рассмотрим треугольник ABC. \(tg(\angle ACB) = \frac{AB}{BC}\), откуда \(AB = BC cdot tg(60°) = BC cdot \sqrt{3}\). Нам нужно найти BC. В прямоугольном треугольнике BCD \(tg(\angle DCB) = \frac{BD}{BC}\), откуда \(BC = \frac{BD}{tg(30°)} = \frac{5}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 5\sqrt{3}\). Тогда, \(AB = 5\sqrt{3} cdot \sqrt{3} = 5 cdot 3 = 15\). Ответ: AB = 15 см.