10. В треугольнике ABC медиана AM перпендикулярна биссектрисе BK. Найдите длину стороны AB, если AM = BK = 20.

Пусть медиана AM перпендикулярна биссектрисе BK, и AM = BK = 20. 1. Пусть O - точка пересечения AM и BK. Тогда треугольник ABO - равнобедренный (так как биссектриса BK является высотой). Следовательно, AO = BO. 2. Так как AM - медиана, то BM = MC. Пусть BM = MC = x. Тогда BC = 2x. 3. Рассмотрим треугольник ABM. BO - биссектриса, и AO = BO. Это значит, что треугольник ABO - равнобедренный, следовательно, AB = BM = x. 4. Треугольник ABK - равнобедренный (так как BO - биссектриса и высота). AK = KB = 20. Тогда AM - медиана в треугольнике ABC. 5. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABO. Пусть AO = BO = y. По теореме Пифагора, AB^2 = AO^2 + BO^2, или же x^2 = y^2 + y^2 = 2y^2 6. Так как BK = 20, и BO = y, то OK = BK - BO = 20 - y. Так как AM = 20, то AO = y, значит OM = AM - AO = 20 - y. То есть OK = OM. 7. По свойству медианы, AK = KC. Также AM - высота и медиана, следовательно AB=AC и ABC - равнобедренный 8. Так как ABC равнобедренный AB=AC и AB=x, AK=KC=20 9. AC = AK + KC = 2AK= 40. А так как AB= AC то и AB = 40 Ответ: AB = 40.