В треугольнике ABC (рис. 4) BM — медиана, MK || BC, S_AKM= 16. Найдите S_ABC.

Решение:

По условию, BM — медиана, значит, M — середина AC. Следовательно, \( AM = MC \).

MK || BC. По теореме Фалеса, если прямая, параллельная одной из сторон треугольника, пересекает две другие стороны и отсекает на них равные отрезки, то она отсекает равные отрезки и на третьей стороне.

Так как MK || BC и M — середина AC, то K — середина AB. Следовательно, \( AK = KB \).

Треугольник AKM подобен треугольнику ABC по двум углам (угол A общий, \( \angle AKM = \angle ABC \) как соответственные при MK || BC и секущей AB).

Коэффициент подобия K равен отношению соответствующих сторон: \( K = \frac{AK}{AB} = \frac{AM}{AC} = \frac{1}{2} \).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \( \frac{S_{AKM}}{S_{ABC}} = K^2 \).

\( \frac{16}{S_{ABC}} = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} \).

\( S_{ABC} = 16 \cdot 4 = 64 \).

Ответ: 64.