В треугольнике ABC с прямым углом C высота CH, проведенная к гипотенузе равна $$5\sqrt{3}$$ см, а отрезок AH равен 15 см. Найдите острые углы прямоугольного треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH, где CH - высота, AH - отрезок, а AC - катет треугольника ABC.

Найдем катет AC с помощью теоремы Пифагора:

$$AC^2 = AH^2 + CH^2$$ $$AC = \sqrt{AH^2 + CH^2} = \sqrt{15^2 + (5\sqrt{3})^2} = \sqrt{225 + 25 \cdot 3} = \sqrt{225 + 75} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \text{ см}$$

Теперь найдем косинус угла A:

$$\cos(A) = \frac{AH}{AC} = \frac{15}{10\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Следовательно, угол A равен:

$$A = \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 30^\circ$$

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов, то угол B равен:

$$B = 90^\circ - A = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$$

Ответ: Острые углы прямоугольного треугольника равны 30° и 60°.