5. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, угол ACB равен 75°. На стороне BC взяли точки X и Y так, что точка X лежит между точками B и Y, AX = BX и угол BAX = углу YAX. Найдите длину отрезка AY, если AX = 20.

Дано: \(\triangle ABC\), \(AB = BC\), \(\angle ACB = 75^{\circ}\), \(X, Y \in BC\), \(X\) между \(B\) и \(Y\), \(AX = BX\), \(\angle BAX = \angle YAX\), \(AX = 20\). Найти \(AY\). 1. Т.к. \(AB = BC\), то \(\triangle ABC\) - равнобедренный. \(\angle BAC = \angle ACB = 75^{\circ}\). Тогда \(\angle ABC = 180^{\circ} - 75^{\circ} - 75^{\circ} = 30^{\circ}\). 2. Т.к. \(AX = BX\), то \(\triangle ABX\) - равнобедренный. \(\angle BAX = \angle ABX = 30^{\circ}\). Тогда \(\angle AXB = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 30^{\circ} = 120^{\circ}\). 3. \(\angle AXC = 180^{\circ} - \angle AXB = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}\). 4. Т.к. \(\angle BAX = \angle YAX\), обозначим \(\angle BAX = \angle YAX = \alpha = 30^{\circ}\). Тогда \(\angle BAY = \angle BAX + \angle YAX = 30^{\circ} + 30^{\circ} = 60^{\circ}\). 5. \(\angle AYX = 180^{\circ} - \angle YAX - \angle AXC = 180^{\circ} - \angle ACB - \angle BAY - \angle AXC = 180 - 75 - 60 = 45^{\circ}\). \(\angle AYX=180-60-60=60^o \) 6. Рассмотрим \(\triangle ABX\): \(AX=BX=20\), значит \(\angle BAX = \angle ABX = (180-120)/2 = 30\). \(\angle BAC = 75\), \(\angle CAX = 75-30 =45\). В \(\triangle AXY\): \(\angle YAX = \angle BAX = 30\). \(\angle AXC = 180 - 120 = 60\), \(\angle AXY = 180-60 =120\), \(\angle AXY + \angle CXY=180\) (смежные), значит \(\angle CXY=60\). \(\angle XYC=180 - \angle AXY = 180 - 60 = 120\). \(\angle AYX= 180 - (120 + 30) = 30\), значит \(\triangle AXY\) равнобедренный, \(AY = AX = 20\). Ответ: AY = 20