В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB = 45, sin A = $$\frac{2}{3}$$. Найдите длину отрезка AH.

В прямоугольном треугольнике ABC, $$sin A = \frac{BC}{AB}$$. Из условия $$sin A = \frac{2}{3}$$ и $$AB = 45$$, следовательно, $$\frac{BC}{45} = \frac{2}{3}$$. Отсюда $$BC = \frac{2}{3} \cdot 45 = 30$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. В нём $$AH = AC \cdot cos A$$. Чтобы найти $$AC$$, воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника ABC: $$AC^2 + BC^2 = AB^2$$. $$AC^2 = AB^2 - BC^2 = 45^2 - 30^2 = 2025 - 900 = 1125$$. $$AC = \sqrt{1125} = 15\sqrt{5}$$. Так как $$sin A = \frac{2}{3}$$, то $$cos^2 A = 1 - sin^2 A = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$$. $$cos A = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$$. Теперь найдем AH: $$AH = AC \cdot cos A = 15\sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{15 \cdot 5}{3} = \frac{75}{3} = 25$$. Ответ: 25