15. В треугольнике ABC угол C равен 90°, радиус вписанной окружности равен 2. Найдите площадь треугольника АВС, если АВ = 12.

Пусть (a) и (b) - катеты прямоугольного треугольника, (c) - гипотенуза, и (r) - радиус вписанной окружности. Тогда площадь треугольника можно выразить как:

$$S = \frac{1}{2}ab$$

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник можно найти по формуле:

$$r = \frac{a + b - c}{2}$$

Выразим сумму катетов (a + b) через радиус и гипотенузу:

$$a + b = 2r + c$$

Из условия известно, что (r = 2) и (c = 12), тогда:

$$a + b = 2 \cdot 2 + 12 = 4 + 12 = 16$$

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора:

$$a^2 + b^2 = c^2$$ $$a^2 + b^2 = 12^2 = 144$$

Выразим квадрат суммы катетов:

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

Подставим известные значения:

$$16^2 = 144 + 2ab$$ $$256 = 144 + 2ab$$ $$2ab = 256 - 144 = 112$$ $$ab = \frac{112}{2} = 56$$

Теперь найдем площадь треугольника:

$$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 56 = 28$$ Ответ: 28