4. В треугольнике ABC угол C равен 90°, $$sin ∠A = \frac{4}{5}$$, AC = 9. Найдите АВ.

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90°, известен синус угла A и катет AC, прилежащий к углу A. Надо найти гипотенузу AB.

Синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. В данном случае, противолежащий катет для угла A это BC.

Мы знаем, что $$sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{5}$$.

Найдём косинус угла A. По основному тригонометрическому тождеству $$sin^2 A + cos^2 A = 1$$. Тогда $$cos^2 A = 1 - sin^2 A = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$$. Отсюда $$cos A = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$$.

Косинус угла A это отношение прилежащего катета AC к гипотенузе AB: $$cos A = \frac{AC}{AB}$$.

Подставим известные значения: $$rac{3}{5} = \frac{9}{AB}$$.

Чтобы найти AB, выразим его из этого уравнения: $$AB = \frac{9}{\frac{3}{5}} = 9 * \frac{5}{3} = \frac{45}{3} = 15$$.

Ответ: AB = 15