В треугольнике ABC угол C равен 90°, СН – высота, угол А равен 30°, АВ = 80. Найдите ВН.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. CH - высота, проведенная к гипотенузе AB. Угол A = 30°, AB = 80. Требуется найти BH.

В прямоугольном треугольнике ABC катет BC, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы, т.е.

$$BC = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 80 = 40$$

По теореме Пифагора найдем катет AC:

$$AC^2 = AB^2 - BC^2 = 80^2 - 40^2 = (2 \cdot 40)^2 - 40^2 = 4 \cdot 40^2 - 40^2 = 3 \cdot 40^2 = 3 \cdot 1600 = 4800$$

$$AC = \sqrt{4800} = 40\sqrt{3}$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. В нем:

$$cos A = \frac{AH}{AC}$$

$$AH = AC \cdot cos A = 40\sqrt{3} \cdot cos 30° = 40\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{40 \cdot 3}{2} = \frac{120}{2} = 60$$

$$BH = AB - AH = 80 - 60 = 20$$

Ответ: BH = 20.