В треугольнике ABC угол C равен 90°, угол А равен 30°, АВ = 36√3. Найдите высоту СH.

В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Обозначим катет BC как a, а катет AC как b. Гипотенуза AB = $$36\sqrt{3}$$.

Тогда a = BC = $$\frac{1}{2} \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 36\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$$.

Найдем катет AC = b по теореме Пифагора:

$$b^2 = AB^2 - BC^2 = (36\sqrt{3})^2 - (18\sqrt{3})^2 = 36^2 \cdot 3 - 18^2 \cdot 3 = 1296 \cdot 3 - 324 \cdot 3 = 3888 - 972 = 2916$$

$$b = \sqrt{2916} = 54$$.

Площадь треугольника ABC можно найти двумя способами:

$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 18\sqrt{3} \cdot 54 = 486\sqrt{3}$$

Или:

$$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 36\sqrt{3} \cdot CH = 18\sqrt{3} \cdot CH$$

Приравниваем оба выражения для площади:

$$18\sqrt{3} \cdot CH = 486\sqrt{3}$$

$$CH = \frac{486\sqrt{3}}{18\sqrt{3}} = \frac{486}{18} = 27$$

Ответ: Высота CH = 27.