1654. В треугольнике ABC угол C равен 90°, угол А равен 30°, АВ = 40√3. Найдите высоту СH.

Рассмотрим треугольник ABC, где угол C = 90°, угол A = 30°, AB = 40√3. CH - высота, проведенная к гипотенузе AB.

В прямоугольном треугольнике ABC:

1. ∠B = 90° - ∠A = 90° - 30° = 60°
2. AC = AB · cos(A) = 40√3 · cos(30°) = 40√3 · (√3/2) = 40 · 3 / 2 = 60
3. BC = AB · sin(A) = 40√3 · sin(30°) = 40√3 · (1/2) = 20√3

Площадь треугольника ABC можно вычислить двумя способами:

1. S = (1/2) · AC · BC = (1/2) · 60 · 20√3 = 600√3
2. S = (1/2) · AB · CH = (1/2) · 40√3 · CH = 20√3 · CH

Приравняем два выражения для площади:

600√3 = 20√3 · CH

CH = 600√3 / (20√3) = 30

Ответ: 30