1656. В треугольнике АВС угол C равен 90°, угол А равен 30°, АВ = 52√3. Найдите высоту СН.

Рассмотрим треугольник ABC, где угол C = 90°, угол A = 30°, AB = 52√3. CH - высота, проведенная к гипотенузе AB.

В прямоугольном треугольнике ABC:

1. ∠B = 90° - ∠A = 90° - 30° = 60°
2. AC = AB · cos(A) = 52√3 · cos(30°) = 52√3 · (√3/2) = 52 · 3 / 2 = 26 · 3 = 78
3. BC = AB · sin(A) = 52√3 · sin(30°) = 52√3 · (1/2) = 26√3

Площадь треугольника ABC можно вычислить двумя способами:

1. S = (1/2) · AC · BC = (1/2) · 78 · 26√3 = 39 · 26√3 = 1014√3
2. S = (1/2) · AB · CH = (1/2) · 52√3 · CH = 26√3 · CH

Приравняем два выражения для площади:

1014√3 = 26√3 · CH

CH = 1014√3 / (26√3) = 39

Ответ: 39