В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB = 90, sin A = 2/3. Найдите длину отрезка BH.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, \(\angle C = 90^\circ\). Нам даны \(AB = 90\) и \(\sin A = \frac{2}{3}\).

Сначала найдём длину катета BC, используя синус угла A:

\(\sin A = \frac{BC}{AB}\)

\(\frac{2}{3} = \frac{BC}{90}\)

\(BC = 90 \cdot \frac{2}{3} = 30 \cdot 2 = 60\)

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CBH. В нем \(\angle CHB = 90^\circ\). Угол \(\angle B\) в треугольнике ABC равен \(90^\circ - \angle A\).

Угол \(\angle BCH\) в треугольнике CBH равен \(90^\circ - \angle B\).

Так как \(\angle B = 90^\circ - \angle A\), то \(\angle BCH = 90^\circ - (90^\circ - \angle A) = \angle A\).

Теперь в прямоугольном треугольнике CBH мы можем найти длину BH, используя синус угла \(\angle BCH = \angle A\):

\(\sin(\angle BCH) = \sin A = \frac{BH}{BC}\)

\(\frac{2}{3} = \frac{BH}{60}\)

\(BH = 60 \cdot \frac{2}{3} = 20 \cdot 2 = 40\)

Ответ: 40