В треугольнике ABC угол С равен 78°, внешний угол при вершине А равен 102°. Найдите длину стороны ВС, если AB = 16.

Решение:

1. Найдем угол A: Внешний угол при вершине A равен 102°, значит, внутренний угол A равен \( 180^{\circ} - 102^{\circ} = 78^{\circ} \).
2. Найдем угол B: Сумма углов в треугольнике равна 180°. Угол B = \( 180^{\circ} - \angle A - \angle C = 180^{\circ} - 78^{\circ} - 78^{\circ} = 180^{\circ} - 156^{\circ} = 24^{\circ} \).
3. Применим теорему синусов: Теорема синусов гласит: \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \). В нашем случае \( a = BC \), \( b = AC \), \( c = AB = 16 \).
4. Выразим сторону BC:
   \[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C} \]
   \[ \frac{BC}{\sin 78^{\circ}} = \frac{16}{\sin 78^{\circ}} \]
5. Найдем BC:
   \[ BC = \frac{16 \times \sin 78^{\circ}}{\sin 78^{\circ}} = 16 \]

Ответ: 16