3. В треугольнике АВС ∠B = 15°, ∠C= 45°, AB = 5√6. Найдите длину стороны АС и радиус окружности, описанной около треугольника АВС.

Сумма углов треугольника равна 180 градусам, поэтому угол A равен:$$A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 15^\circ - 45^\circ = 120^\circ$$Для нахождения стороны AC воспользуемся теоремой синусов:$$\frac{AC}{sin(B)} = \frac{AB}{sin(C)}$$

1. Выразим AC:$$AC = \frac{AB \cdot sin(B)}{sin(C)} = \frac{5\sqrt{6} \cdot sin(15^\circ)}{sin(45^\circ)}$$
2. Учитывая, что $$sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$$ и $$sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$, получим:$$AC = \frac{5\sqrt{6} \cdot (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{5\sqrt{6} \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{6} \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2\sqrt{2}} = \frac{5(6 - \sqrt{12})}{2\sqrt{2}} = \frac{5(6 - 2\sqrt{3})}{2\sqrt{2}} = \frac{5(3 - \sqrt{3})}{\sqrt{2}} = \frac{5(3\sqrt{2} - \sqrt{6})}{2}$$

Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся формулой:$$R = \frac{AB}{2 \cdot sin(C)}$$

1. Подставим известные значения:$$R = \frac{5\sqrt{6}}{2 \cdot sin(45^\circ)} = \frac{5\sqrt{6}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{5\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{3}$$

Ответ: $$AC = \frac{5(3\sqrt{2} - \sqrt{6})}{2}$$, $$R = 5\sqrt{3}$$