51 В треугольнике АВС АС = BC, AB = 15, АН высота, ВН = 6. Найдите косинус угла ВАС.

Рассмотрим треугольник АВН. Он прямоугольный, так как АН - высота. По теореме Пифагора найдем АН.

$$ AH^2 = AB^2 - BH^2 $$ $$ AH^2 = 15^2 - 6^2 = 225 - 36 = 189 $$ $$ AH = \sqrt{189} = 3\sqrt{21} $$

Так как AC = BC, то треугольник ABC - равнобедренный. Высота, проведенная из вершины равнобедренного треугольника, является и медианой.

$$ AH
e медианой $$

Пусть CH = x, тогда AC = BC = BH + x = 6 + x. Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. По теореме Пифагора:

$$ AC^2 = AH^2 + HC^2 $$ $$ (6 + x)^2 = (3\sqrt{21})^2 + x^2 $$ $$ 36 + 12x + x^2 = 189 + x^2 $$ $$ 12x = 189 - 36 = 153 $$ $$ x = \frac{153}{12} = \frac{51}{4} = 12.75 $$

Тогда AC = 6 + 12.75 = 18.75

Найдем косинус угла ВАС:

$$ cos(BAC) = \frac{AB}{2AC} = \frac{15}{2 \cdot 18.75} = \frac{15}{37.5} = \frac{150}{375} = \frac{2}{5} = 0.4 $$

Ответ:

Рассмотрим треугольник ABH:

cos(ABC) = \frac{BH}{AB} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} = 0.4

Угол ВАС является тупым углом.

Тогда рассмотрим треугольник AHC:

AC = 18.75

$$ cos(\angle BAC) = \frac{AH}{AC} = \frac{3\sqrt{21}}{18.75} = \frac{3 \cdot 4.58}{18.75} = \frac{13.74}{18.75} \approx 0.73 $$

Ответ: 0,4