3. В треугольнике АВС АВ = BC. На медиане ВЕ отмечена точка М, а на сто- ронах АВ И ВС — точки Р и К соот- ветственно. (Точки Р, МиК не ле- жат на одной прямой.) Известно, что ∠BMP = ∠BМК. Докажите, что: а) углы ВРМ и ВКМ равны; б) прямые РК и ВМ взаимно перпендикулярны.

Докажем утверждения, используя известные условия.

а) Докажем, что углы ВРМ и ВКМ равны.

1. Так как АВ = ВС, то треугольник ABC - равнобедренный.
2. ВЕ - медиана, проведенная к основанию АС, следовательно, ВЕ является также биссектрисой угла ABC.
3. ∠АВЕ = ∠СВЕ.
4. Рассмотрим треугольники BРМ и BKM:
5. ВМ - общая сторона.
6. ∠BMP = ∠BMK (по условию).
7. ∠МВР = ∠МВК (так как ВЕ - биссектриса).

Следовательно, треугольники ВРМ и BKM равны по стороне и двум прилежащим углам (второй признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов, то есть ∠ВРМ = ∠ВКМ.

б) Докажем, что прямые РК и ВМ взаимно перпендикулярны.

1. Так как треугольники ВРМ и BKM равны, то ВР = ВК.
2. Треугольник BРК - равнобедренный.
3. ВМ - биссектриса угла РВК (так как ∠МВР = ∠МВК).
4. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также высотой.

Следовательно, ВМ перпендикулярна РК.

Ответ: а) углы ВРМ и ВКМ равны; б) прямые РК и ВМ взаимно перпендикулярны.