3. В треугольнике АВС АВ = BC. На медиане ВЕ отмечена точка М, а на сторонах АВ и ВС — точки Р и К соответственно. (Точки Р, М и К не лежат на одной прямой.) Известно, что ∠BMP = ∠BМК. Докажите, что: а) углы ВРМ и ВКМ равны; б) прямые РК и ВМ взаимно перпендикулярны.

Дано: треугольник ABC, AB = BC, BE - медиана, точка M на BE, точки P и K на AB и BC соответственно, ∠BMP = ∠BMK.

Доказать: a) ∠BPM = ∠BKM; б) PK ⊥ BM.

Решение:

a) Рассмотрим треугольники BMP и BMK:

• BM - общая сторона.
• ∠BMP = ∠BMK (по условию).
• BP = BK (так как AB = BC и углы ∠BPM и ∠BKM равны, треугольники BPK и BKM равны).

Следовательно, треугольники BMP и BMK равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников BMP и BMK следует, что ∠BPM = ∠BKM.

б) Так как треугольники BMP и BMK равны, то PM = MK. Рассмотрим треугольник PMK. Так как PM = MK, то треугольник PMK - равнобедренный. BE - медиана, проведенная к основанию PK равнобедренного треугольника PMK. Следовательно, BM является высотой треугольника PMK, а значит, BM ⊥ PK.

Ответ: a) ∠BPM = ∠BKM; б) прямые РК и ВМ взаимно перпендикулярны.