В треугольнике АВС известно, что ∠C = 90, ∠A = 30, отрезок ВM — биссектриса треугольника. Найдите катет АС, если ВМ = 6 см.

1. Шаг 1: Определим угол ABC.

   В прямоугольном треугольнике сумма углов A и B равна 90 градусам, поэтому: \[\angle ABC = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\]

2. Шаг 2: Определим угол MBC, так как BM - биссектриса.

   \[\angle MBC = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ\]

3. Шаг 3: Рассмотрим треугольник BМС. Угол BMC равен:

   \[\angle BMC = 180^\circ - \angle MBC - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 90^\circ = 60^\circ\]

4. Шаг 4: Найдем BC из треугольника BMC.

   sin(∠BMC) = BC/BM, следовательно: \[BC = BM \cdot sin(60^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\]

5. Шаг 5: Найдем AC из треугольника ABC.

   tg(∠A) = BC/AC, следовательно: \[AC = \frac{BC}{tg(30^\circ)} = \frac{3\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 9\]

Ответ: 9 см