4.* В треугольнике АВС О – точка пересечения медиан. Выразите вектор АО через векторы а = АВ и в = AC.

В треугольнике ABC точка O - точка пересечения медиан. Выразим вектор $$ \vec{AO} $$ через векторы $$ \vec{a} = \vec{AB} $$ и $$ \vec{b} = \vec{AC} $$.

Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Пусть M - середина BC. Тогда $$ \vec{AM} = \frac{1}{2} (\vec{AB} + \vec{AC}) = \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b}) $$.

$$ \vec{AO} = \frac{2}{3} \vec{AM} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b}) = \frac{1}{3} (\vec{a} + \vec{b}) $$.

Ответ: $$\vec{AO} = \frac{1}{3} (\vec{a} + \vec{b})$$