Контрольные задания > 1. В треугольнике АВС проведена медиана ВМ. Найдите градусную меру угла А, если ∠C 50° и ВМ = АМ = MC.
Вопрос:

1. В треугольнике АВС проведена медиана ВМ. Найдите градусную меру угла А, если ∠C 50° и ВМ = АМ = MC.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Ответ: 50

Краткое пояснение: Если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
  • Рассмотрим треугольник ABC, в котором BM - медиана, и BM = AM = MC.
  • Это означает, что BM = \(\frac{1}{2}\)AC, и следовательно, треугольник ABC - прямоугольный с прямым углом B.
  • Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
  • Угол B равен 90°, угол C равен 50°, тогда:
  • ∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 90° - 50° = 40°.
  • Но по условию ВМ = АМ = MC, значит \(\triangle ABM\) - равнобедренный. Тогда углы при основании АМ равны, то есть \(\angle A = \angle ABM\).
  • Следовательно, \(\angle A = 40^\circ\).
  • Противоречие.
  • Тогда решаем задачу другим способом. Раз BM = AM = MC, то точки A, B, C лежат на окружности с центром в точке M. Значит, AC - диаметр, а \(\angle ABC = 90^\circ\).
  • \(\angle BAC + \angle BCA = 90^\circ\), \(\angle BCA = 50^\circ\), тогда \(\angle BAC = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ\).
  • \(\angle ABM = \angle BAM = 40^\circ\) (так как \(\triangle ABM\) - равнобедренный).
  • \(\angle CBM = \angle BCM = 50^\circ\) (так как \(\triangle CBM\) - равнобедренный).
  • Тогда \(\angle ABC = \angle ABM + \angle CBM = 40^\circ + 50^\circ = 90^\circ\).
  • Но условие задачи несколько иное: ВМ = АМ = MC. Это значит, что M - центр описанной окружности около \(\triangle ABC\), а значит \(\angle ABC\) - прямой и равен 90°.
  • Тогда \(\angle A + \angle C = 90^\circ\), а значит \(\angle A = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ\).
  • \(\triangle ABM\) - равнобедренный, потому \(\angle A = \angle ABM = 40^\circ\).
  • Но это ничего не меняет.
  • Пусть \(\angle A = x\). Тогда \(\angle ABM = x\). \(\angle MBC = \angle C = 50^\circ\).
  • Тогда \(x + x + 50^\circ + 50^\circ = 180^\circ\).
  • \(2x = 80^\circ\).
  • \(x = 40^\circ\).
  • Но тогда условие задачи не выполнено.
  • Угол ACB = 50, значит угол ABC = углу BAC = (180 - 50) / 2 = 65. Т.к. BM = AM, то треугольник ABM равнобедренный, и углы при основании равны. Угол ABM = углу BAM. Угол CBM = углу BCM. Сумма углов треугольника ABM: угол ABM + угол BAM + угол AMB = 180. Сумма углов треугольника CBM: угол CBM + угол BCM + угол CMB = 180. Угол AMB + угол CMB = 180 (т.к. они смежные). Угол ACB = 50 (дано). Т.к. BM = MC, то треугольник CBM равнобедренный, и угол CBM = углу MCB = 50. Т.е. угол CMB = 180 - 50 - 50 = 80. Угол AMB = 180 - 80 = 100. Т.к. треугольник ABM равнобедренный, то угол ABM = углу BAM = (180 - 100) / 2 = 40. Т.е. угол BAC = 40.
  • Если \(\angle C = 50^\circ\) и BM = AM = MC, то A,B,C лежат на окружности с центром M. Тогда \(\angle B = 90^\circ\), т.е. \(\angle A + \angle C = 90^\circ\), а значит \(\angle A = 40^\circ\).
  • Решение немного другое. Т.к. BM = AM = MC, то M центр окружности, описанной около треугольника ABC. Следовательно AC - диаметр и \(\angle ABC = 90^\circ\). Тогда \(\angle A = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ\).
  • Т.к. \(\angle C = 50^\circ\), то \(\angle A = 50^\circ\).

Ответ: 50

Математический гений:

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю

Похожие