В треугольнике АВС проведена медиана ВМ. Найдите градусную меру угла А, если ∠C = 57° и ВМ = АM = MC.

Решение:

Медиана ВМ равна половине стороны АС, то есть \( BM = AM = MC \). Это означает, что точка М является центром описанной окружности треугольника АВС, и АС — диаметр этой окружности.

В треугольнике ВМС, \( BM = MC \), значит, он равнобедренный. Угол \( ∠ MBC = ∠ C = 57° \).

В треугольнике АВМ, \( BM = AM \), значит, он равнобедренный. Угол \( ∠ ABM = ∠ A \).

Сумма углов треугольника АВС равна 180°:

\( ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180° \)

\( ∠ A + (∠ ABM + ∠ MBC) + ∠ C = 180° \)

\( ∠ A + (∠ A + 57°) + 57° = 180° \)

\( 2∠ A + 114° = 180° \)

\( 2∠ A = 180° - 114° \)

\( 2∠ A = 66° \)

\( ∠ A = 33° \)

Ответ: 33°.