В треугольнике АВС проведена медиана ВМ. Найдите градусную меру угла А, если ∠ С = 58° и ВМ = АМ = МС.

Решение:

• По условию, $$BM = AM = MC$$.
• Это означает, что точка $$M$$ является центром описанной окружности треугольника $$ABC$$, а $$BM$$, $$AM$$, $$MC$$ — радиусами этой окружности.
• Треугольник $$ABM$$ равнобедренный, так как $$AM = BM$$. Следовательно, $$\angle BAM = \angle ABM$$.
• Треугольник $$CBM$$ равнобедренный, так как $$CM = BM$$. Следовательно, $$\angle CBM = \angle BCM$$.
• Из условия известно, что $$\angle C = 58^{\circ}$$. Так как $$\angle CBM = \angle BCM$$, то $$\angle CBM = 58^{\circ}$$.
• В треугольнике $$CBM$$ сумма углов равна $$180^{\circ}$$: $$\angle BMC = 180^{\circ} - (58^{\circ} + 58^{\circ}) = 180^{\circ} - 116^{\circ} = 64^{\circ}$$.
• Угол $$\angle AMB$$ является смежным к $$\angle BMC$$, поэтому $$\angle AMB = 180^{\circ} - \angle BMC = 180^{\circ} - 64^{\circ} = 116^{\circ}$$.
• В равнобедренном треугольнике $$ABM$$ ($$\\angle BAM = \\angle ABM$$), сумма углов равна $$180^{\circ}$$: $$\angle BAM + \angle ABM + \angle AMB = 180^{\circ}$$.
• Пусть $$\angle BAM = \angle ABM = x$$.
• Тогда: $$x + x + 116^{\circ} = 180^{\circ}$$.
• $$2x = 180^{\circ} - 116^{\circ}$$.
• $$2x = 64^{\circ}$$.
• $$x = 32^{\circ}$$.
• Таким образом, $$\angle A = \angle BAM = 32^{\circ}$$.

Ответ: 32°