19. В треугольнике АВС проведены медиана ВМ и высота ВН. Известно, что АС=56 и ВС=ВМ. Найдите АН.

В треугольнике АВС ВМ - медиана, значит АМ = МС = АС/2 = 56/2 = 28.

По условию ВС = ВМ, значит ΔВМС - равнобедренный, углы при основании равны ∠ВМС = ∠ВСМ.

∠ВМС - внешний угол ΔАВМ, внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, то есть ∠ВМС = ∠АВМ + ∠ВАМ.

Т.к. ΔВМС - равнобедренный, то ∠ВМС = ∠ВСМ = ∠АВМ + ∠ВАМ.

Пусть ∠АВМ = ∠ВАМ = х, тогда ∠ВСМ = 2х.

Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно, ∠А + ∠В + ∠С = 180°, х + 2х + 2х = 180°, 5х = 180°, х = 36°.

Получаем ∠А = 36°, ∠С = 2 * 36° = 72°.

В прямоугольном треугольнике АВН sinA = BH / AB, cosA = AH / AB, tgA = BH / AH, ctgA = AH / BH.

cos A = AH / AB, выразим АН = АВ * cos A.

По теореме синусов АВ / sin C = BC / sin A = AC / sin B.

Выразим АВ = АС * sin C / sin B = 56 * sin 72° / sin B.

Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно, ∠B = 180° - (∠А + ∠С) = 180° - (36° + 72°) = 180° - 108° = 72°.

Получаем, что sin B = sin 72°.

АВ = 56 * sin 72° / sin 72° = 56.

AH = АВ * cos A = 56 * cos 36° = 45,3.

Ответ: 45,3