В треугольнике АВС с тупым углом АВС проведены высоты АА₁ и СС₁. Докажите, что треугольники А₁ВС₁ и АВС подобны.

Рассмотрим треугольник ABC с тупым углом ABC. Пусть AA₁ и CC₁ - высоты треугольника.

Нужно доказать, что треугольники A₁BC₁ и ABC подобны.

Доказательство:

Угол B - общий для треугольников A₁BC₁ и ABC.

Рассмотрим четырехугольник A₁ACC₁. У него углы A₁AC и A₁CC равны 90 градусов, так как AA₁ и CC₁ - высоты.

Сумма углов четырехугольника равна 360 градусов, поэтому ∠A₁AC + ∠ACC₁ + ∠CA₁C + ∠AA₁C = 360°.

Так как ∠A₁AC = 90° и ∠ACC₁ = 90°, то ∠A + ∠C₁A₁ = 180°.

Поскольку ∠A₁BC₁ - общий угол для треугольников A₁BC₁ и ABC, и углы AA₁C и CC₁A - прямые, треугольники A₁BC₁ и ABC подобны по двум углам.

Таким образом, треугольники A₁BC₁ и ABC подобны.