4. В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны, ∠ACB = 75° На стороне ВС взяли точки Х и У так, что точка Х лежит между точками В и Ү, АХ = ВХ и ∠BAX = ZYAX. Найдите длину отрезка АY, если АХ = 14.

1. Шаг 1: Найдем углы треугольника ABC.
Так как AB = BC, то треугольник ABC - равнобедренный. Значит, углы при основании равны: ∠BAC = ∠BCA = 75°. Тогда угол ∠ABC = 180° - (75° + 75°) = 180° - 150° = 30°.
2. Шаг 2: Рассмотрим треугольник ABX.
Так как AX = BX, то треугольник ABX - равнобедренный. ∠BAX = ∠ABX = (180° - ∠AXB)/2. Пусть ∠BAX = ∠YAX = α. ∠ABX = ∠ABC = 30°. Тогда ∠BAX = 30° = α.
3. Шаг 3: Найдем угол ∠CAY.
∠CAY = ∠BAC - ∠BAX = 75° - 30° = 45°.
4. Шаг 4: Рассмотрим треугольник AYX.
В треугольнике AYX углы ∠YAX = ∠AYX = 30°. Значит, треугольник AYX - равнобедренный. Поэтому AY = YX.
5. Шаг 5: Рассмотрим углы треугольника AXY.
∠AXB = 180 - (∠BAX + ∠ABX) = 180 - (30 + 30) = 120° Значит, ∠AXY = 180 - ∠AXB = 180 - 120 = 60° Так как ∠AYX = ∠AXY, то ∠AYX = (180 - 30)/2 = 75°
6. Шаг 6: Определим AX.
Из условия AX=14
7. Шаг 7: Рассмотрим теорему синусов для треугольника AXY:
\[\frac{AX}{\sin \angle AYA} = \frac{AY}{\sin \angle AXA} \] \[\frac{AX}{\sin \angle AYA} = \frac{AY}{\sin \angle AXA} \Rightarrow \frac{14}{\sin 75} = \frac{AY}{\sin 60} \] \[AY=\frac{14 \cdot \sin 60}{\sin 75}\] \[AY = \frac{14 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{7\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{28\sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}\] Домножим на сопряженное выражение: \[AY = \frac{28\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{28\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = 7\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2})\] \[AY = 7(\sqrt{18} - \sqrt{6}) = 7(3\sqrt{2} - \sqrt{6})\] \[AY = 21\sqrt{2} - 7\sqrt{6}\]

Ответ: 21√2 - 7√6