В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны. Найдите tg A, если АВ=10, AC=1.

Дано:

• \[ \triangle ABC \]
• \[ AB = BC \]
• \[ AB = 10 \]
• \[ AC = 1 \]

Найти:

• \[ \operatorname{tg} A \]

Решение:

1. \[ \triangle ABC \] — равнобедренный, так как \( AB = BC \).
2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть \( \angle BAC = \angle BCA \).
3. Обозначим \( \angle BAC = \angle BCA = \alpha \).
4. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому \( \angle ABC = 180° - 2\alpha \).
5. По теореме косинусов для стороны AC:
\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC) \]
6. \[ 1^2 = 10^2 + 10^2 - 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \cos(180° - 2\alpha) \]
7. \[ 1 = 100 + 100 - 200 \cdot (-\cos(2\alpha)) \]
8. \[ 1 = 200 + 200 \cos(2\alpha) \]
9. \[ -199 = 200 \cos(2\alpha) \]
10. \[ \cos(2\alpha) = -\frac{199}{200} \]
11. Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1 \)
12. \[ 2\cos^2\alpha - 1 = -\frac{199}{200} \]
13. \[ 2\cos^2\alpha = 1 - \frac{199}{200} = \frac{1}{200} \]
14. \[ \cos^2\alpha = \frac{1}{400} \]
15. \[ \cos\alpha = ± \frac{1}{20} \]
16. Так как \( \alpha \) — угол треугольника, \( \cos\alpha > 0 \) (если \( \alpha < 90° \)). Если \( \alpha > 90° \), то \( \cos\alpha < 0 \). Однако, \( \angle BAC \) является углом при основании равнобедренного треугольника, поэтому \( \alpha < 90° \).
17. \[ \cos\alpha = \frac{1}{20} \]
18. Найдем \( \sin\alpha \) по формуле \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \):
19. \[ \sin^2\alpha = 1 - (\frac{1}{20})^2 = 1 - \frac{1}{400} = \frac{399}{400} \]
20. \[ \sin\alpha = \sqrt{\frac{399}{400}} = \frac{\sqrt{399}}{20} \]
21. Теперь найдем \( \operatorname{tg} A \):
22. \[ \operatorname{tg} A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\frac{\sqrt{399}}{20}}{\frac{1}{20}} = \sqrt{399} \]

Ответ: √399