2. В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны, ДАСВ = 75°. На стороне ВС взяли точки Х и У так, что точка Х лежит между точками В и Ү, АХ = ВХ И ∠BAX = ∠YAХ. Най- дите длину отрезка АY, если АХ = 20.

Решение:

Поскольку AB = BC, то треугольник ABC — равнобедренный, и углы при основании AC равны: ∠BAC = ∠BCA = 75°. Тогда угол ∠ABC = 180° - 75° - 75° = 30°.

Рассмотрим треугольник ABX. Так как AX = BX, то треугольник ABX - равнобедренный, следовательно углы при основании равны: ∠BAX = ∠ABX. Пусть ∠BAX = ∠ABX = α. Тогда 2α + ∠AXB = 180°.

По условию ∠BAX = ∠YAX, значит, ∠BAY = 2∠BAX = 2α. Следовательно, ∠CAY = ∠BAC - ∠BAY = 75° - 2α.

Проведем высоту AH в треугольнике ABX. Так как треугольник равнобедренный, AH является и медианой, то есть BH = HX = BX/2 = AX/2 = 20/2 = 10.

В прямоугольном треугольнике ABH: sin α = BH / AB = 10 / AB, AB = 10 / sin α

По теореме синусов для треугольника ABX:

$$\frac{AX}{\sin∠ABX} = \frac{BX}{\sin∠BAX} = \frac{AB}{\sin∠AXB}$$

$$\frac{20}{\sin α} = \frac{AB}{\sin(180° - 2α)} = \frac{AB}{\sin 2α}$$

$$AB = \frac{20 \cdot \sin 2α}{\sin α} = \frac{20 \cdot 2 \sin α \cos α}{\sin α} = 40 \cos α$$

Тогда 40 cos α = 10 / sin α, sin α cos α = 10 / 40 = 1/4 = 0,25

sin 2α = 2 sin α cos α = 2 \cdot 0,25 = 0,5. 2α = arcsin 0,5 = 30°, α = 15°.

∠BAY = 2α = 30°, ∠CAY = 75° - 2α = 75° - 30° = 45°.

В треугольнике ABY: AB = 40 cos α = 40 cos 15°

По теореме косинусов:

$$AY^2 = AB^2 + BY^2 - 2 \cdot AB \cdot BY \cdot \cos∠ABY$$

Но BY неизвестен.

Ответ: Недостаточно данных.