5) В треугольнике АВС точка D лежит на стороне АВ так, что AD = DC, DE II AC, (точка Е лежит на стороне ВС), L CDE = 32°. Найти — BDC.

Дано: ΔABC, D ∈ AB, AD = DC, DE || AC, E ∈ BC, ∠CDE = 32°.

Найти: ∠BDC.

Решение:

      A
     / \
    /   \
   /     \
  D-------\ C
 / \     /
/   \   /
-------E------
       \
        \
         B

1. Так как AD = DC, треугольник ADC – равнобедренный.
2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, ∠DAC = ∠DCA. Обозначим их как α.
3. Так как DE || AC, углы CDE и DCA являются накрест лежащими, поэтому ∠CDE = ∠DCA = 32°.
4. Следовательно, α = 32°, и ∠DAC = 32°.
5. Угол ADC является внешним углом для треугольника BDC. Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним.
6. ∠ADC = 180° − 2α = 180° − 2 · 32° = 180° − 64° = 116°.
7. ∠BDC = 180° − ∠ADC = 180° − 116° = 64°.

Ответ: 64°