9. В треугольнике АВС угол C равен 90°, АС = 2, sinA=\frac{\sqrt{17}}{17}. Найдите BC.

Решение:

Синус угла A равен отношению противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB):

\[ sin A = \frac{BC}{AB} \]

Выразим BC через sin A и AB:

\[ BC = AB \cdot sin A \]

Чтобы найти AB, используем теорему Пифагора:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Подставим \(AC = 2\) и \(sin A = \frac{\sqrt{17}}{17}\) в формулу для синуса:

\[ \frac{\sqrt{17}}{17} = \frac{BC}{AB} \]

Значит, \(BC = AB \cdot \frac{\sqrt{17}}{17}\). Подставим это в теорему Пифагора:

\[ AB^2 = 2^2 + (AB \cdot \frac{\sqrt{17}}{17})^2 \] \[ AB^2 = 4 + AB^2 \cdot \frac{17}{289} \] \[ AB^2 - AB^2 \cdot \frac{17}{289} = 4 \] \[ AB^2 (1 - \frac{17}{289}) = 4 \] \[ AB^2 (\frac{289 - 17}{289}) = 4 \] \[ AB^2 (\frac{272}{289}) = 4 \] \[ AB^2 = \frac{4 \cdot 289}{272} = \frac{1156}{272} = \frac{289}{68} \] \[ AB = \sqrt{\frac{289}{68}} = \frac{17}{2\sqrt{17}} = \frac{\sqrt{17}}{2} \]

Теперь найдем BC:

\[ BC = AB \cdot sin A = \frac{\sqrt{17}}{2} \cdot \frac{\sqrt{17}}{17} = \frac{17}{2 \cdot 17} = \frac{1}{2} \]