5. В треугольнике АВС угол C равен 90°, cosA = \frac{4}{\sqrt{17}}. Найдите tgA.

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C, косинус острого угла A равен отношению прилежащего катета AC к гипотенузе AB, то есть $$cos A = \frac{AC}{AB}$$. Тангенс острого угла A равен отношению противолежащего катета BC к прилежащему катету AC, то есть $$tg A = \frac{BC}{AC}$$.

Дано: $$cos A = \frac{4}{\sqrt{17}}$$. Нужно найти $$tg A$$.

По основному тригонометрическому тождеству, $$sin^2 A + cos^2 A = 1$$

$$sin^2 A = 1 - cos^2 A$$

$$sin A = \sqrt{1 - cos^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{4}{\sqrt{17}})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{17}} = \sqrt{\frac{17 - 16}{17}} = \sqrt{\frac{1}{17}} = \frac{1}{\sqrt{17}}$$

Значит, $$sin A = \frac{1}{\sqrt{17}}$$.

$$tg A = \frac{sin A}{cos A} = \frac{\frac{1}{\sqrt{17}}}{\frac{4}{\sqrt{17}}} = \frac{1}{\sqrt{17}} \cdot \frac{\sqrt{17}}{4} = \frac{1}{4}$$

$$tg A = \frac{1}{4}$$

Ответ: $$\frac{1}{4}$$