В треугольнике АВС угол C равен 90°, СН - высота, АВ=180, sinA=\frac{1}{6}. Найдите длину отрезка АН.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, где угол C равен 90°. СН - высота, опущенная из вершины C на гипотенузу AB.

Нам нужно найти длину отрезка AH. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. В этом треугольнике AH - прилежащий катет к углу A.

Из определения синуса в прямоугольном треугольнике ABC, мы имеем:

\[\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{6}\]

Отсюда, \(BC = AB \cdot \sin A = 180 \cdot \frac{1}{6} = 30\)

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. В этом треугольнике AH - прилежащий катет к углу A, a AC - гипотенуза. Таким образом:

\[AH = AC \cdot \cos A\]

Мы не знаем \(\cos A\), но мы знаем \(\sin A = \frac{1}{6}\). Используем основное тригонометрическое тождество:

\[\sin^2 A + \cos^2 A = 1\] \[\cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - \left(\frac{1}{6}\right)^2 = 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36}\] \[\cos A = \sqrt{\frac{35}{36}} = \frac{\sqrt{35}}{6}\]

Теперь надо найти AC. Из прямоугольного треугольника ABC:

\[AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{180^2 - 30^2} = \sqrt{32400 - 900} = \sqrt{31500} = 30\sqrt{35}\]

Подставим найденные значения в формулу для AH:

\[AH = AC \cdot \cos A = 30\sqrt{35} \cdot \frac{\sqrt{35}}{6} = \frac{30 \cdot 35}{6} = 5 \cdot 35 = 175\]