6. В треугольнике АВС ВМ – медиана и ВН – высота. Известно, что АС=136, НС=34 и ∠ACB=49°. Найдите ∠AMB. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 82

Т.к. ВН - высота, то треугольник ВНС - прямоугольный. Следовательно, угол НВС = 90 - 49 = 41 градус. Т.к. АС = 136, то АН = АС - НС = 136 - 34 = 102. Т.к. ВМ - медиана, то АМ = МС = АС/2 = 136/2 = 68. Тогда НМ = АМ - АН = 68 - 102 = -34. Т.е. точка М лежит между Н и С, и НМ = 34. Следовательно, НМ = НС, и треугольник ВНМ = ВНС (т.к. катеты равны). Следовательно, угол НВМ = углу НВС = 41 градус. Тогда угол МВС = угол НВС = 41 градус. Т.к. АМ = МС, то треугольник АВМ - равнобедренный, следовательно, угол ВАМ = углу АВМ. Угол ВАМ = (180 - угол АМВ) / 2. Угол АМВ = 180 - угол ВМС. Угол ВМС = 180 - угол АМВ. Угол АМВ = 180 - угол ВМС

sin(49) = BH/BC; cos(49) = HC/BC = 34/BC, BC = 34/cos(49) = 34/0.656 = 51.8

Ответ: 82